Sumário
1.1 Hierarquizando o infinito1.2 Conjunto, elemento e relação de pertinência
1.3 Representações de um conjunto
1.4 Conjunto unitário e conjunto vazio
1.5 Conjunto universo
1.6 Subconjunto e relação de inclusão
1.7 Igualdade de conjuntos
1.8 Conjunto das partes de um conjunto
1.9 Intersecção de conjuntos
1.10 União (ou reunião) de conjuntos
1.11 Conjunto diferença
1.12 Questões que envolvem vários tipos de operação entre conjuntos
1.13 Número de elementos da união de conjuntos
1.14 Resumo
1.15 Questões de revisão e aprofundamento
1.1 HIERARQUIZANDO O INFINITO
A teoria dos conjuntos foi criada por Georg Cantor.
Tendo estudado filosofia, física e matemática, Cantor, ainda jovem, por volta dos 27 anos, interessou-se por um assunto muito discutido na época: o infinito.
Trabalhando com conjuntos infinitos, Cantor mostrou, entre outras coisas, que o conjunto dos números reais tem "mais" elementos que o dos racionas. Dessa forma, ele construiu uma hierarquia entre os conjuntos infinitos.
Os resultados levaram-no a estabelecer um novo ramo da matemática chamado teoria dos conjuntos.
Seu trabalho sobre a teoria dos conjuntos dividiu a opinião de vários matemáticos. Se por um lado houve quem o chamasse de "charlatão da ciência" por outro, houve também quem reconhecesse suas realizações nesse campo, afirmando: "Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós".
 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 - 1918) Notável matemático, Nasceu na Rússia, mas logo aos 11 anos transferiu-se para Frankfurt na Alemanha, onde viveu até sua morte. Obteve seu doutoramento em Berlin, no ano de 1867, com uma tese referente a teoria dos números. |
Conjunto
Conjunto é um conceito primitivo, isto é, que não se define.
Podemos pensar em um conjunto como sendo uma coleção de objetos, de números, de letras, etc.
Exemplos
2. Os números 1, 3, 5, 7, ... formam o conjunto dos números naturais impares.
Elemento
Os objetos, números, pessoas, etc. que fazem parte de um conjunto são os elementos desse conjunto.
Nos exemplos que vimos, cada jogador é um elemento do conjunto de jogadores e os números 1, 3, 5, 7, ... são os elementos do conjunto dos números naturais impares.
Indicamos os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas do nosso alfabeto
Relação de pertinência
Se uma pessoa é elemento de um conjunto, dizemos que ela pertence a esse conjunto.
De modo geral, se um elemento qualquer x faz parte de um conjunto A, dizemos que "x pertence ao conjunto A" e indicamos por:
x ∈ A
Observações
1) O simbolo ∈ significa "pertence a". Por exemplo, se indicarmos o conjunto dos números ímpares por I, então 3 ∈ I.
2) O termo "pertence a" indica uma relação de pertinência que se estabelece somente entre elemento e conjunto.
3) Indicamos " não pertence ao conjunto A" por x ∉ A Se chamarmos de V ao conjunto das vogais, então s ∉ V. pois s não é vogal.
3) Indicamos " não pertence ao conjunto A" por x ∉ A Se chamarmos de V ao conjunto das vogais, então s ∉ V. pois s não é vogal.
1.3 REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO
Podemos representar um conjunto de várias maneiras.
Representando um conjunto por enumeração de seus elementos
Enumerar os elementos de um conjunto significa representá-los entre chaves, sem repetir nenhum deles.
Exemplos
1. Conjunto A dos divisores positivos de 20, maiores que 2 e menores que 16:
A = {4, 5, 10}
2. Conjunto B dos números naturais pares:
B = {0, 2, 4, ...}
As reticências no conjunto B indicam que ele e infinito.
Representando um conjunto por uma propriedade comum a todos os seus elementos
Para representar um conjunto C por meio de uma propriedade P, comum a todos os seus elementos, usamos a seguinte notação:
C = {x l x obedece a propriedade P}
O simbolo | significa "tal que".Lê-se: "C é o conjunto dos elementos x tal que x obedece a propriedade P"
Exemplos
1. Se A = {x | x é mês cujo nome começa por m}, então:
A = {março, maio}
2. Se B = {x | x é número natural impar menor que 10}, então:
B = {1, 3,5, 7,9}
Representando um conjunto por um diagrama
Um conjunto pode ser representado por um diagrama que facilita a visualização de suas propriedades.
Esses diagramas são conhecidos como diagramas de Euler ou de Venn e foram introduzidos por Euler na obra Cartas a una princesa da Alemanha, por volta de 1770.
 Leonhard Euler (1707-1783). Grande matemático suíço. Ocupou-se de quase todos os ramos da matemática, sendo o maior responsável pelas notações que usamos hoje. Em 1748, publicou sua principal obra, Introdução a análise infinita. Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".  |
a ∉ A, b ∈ A, c ∈ A e d ∉ A
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) e ∈ A b) h ∈ A c) i ∉ A d) c ∉ A e) d ∉ AP.1 Dado o conjunto A = {a, c, e, g, i}, indique quais das seguintes sentenças são verdadeiras:
P.2 Represente, através da enumeração dos elementos, os seguintes conjuntos:
a) O conjunto A, dos números primos menores que 10.
b) O conjunto B, dos pólos geográficos.
c) O conjunto C, dos números múltiplos positivos de 3 menores que 15.
d) O conjunto D, dos divisores positivos de 9.
e) O conjunto E, dos números pares maiores que 7.
P.3 Determine os elementos dos seguintes conjuntos:
a) A = {x | x é número de uma das faces de um dado}
b) B = {x | x é dia da semana cujo nome começa por s}
c) C = {x | x é número impar compreendido entre 12 e 18}
d) D = {x | x e consoante da palavra conjunto}
P.4 Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos:
a) A = {1, 3, 5}
b) B = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
c) C = {cheia, nova, quarto minguante, quarto crescente}
d) D= {trapézio, retângulo, trapézio, isósceles, trapézio, escaleno}
1.4 CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO
Dado um conjunto A finito, indicamos por n(A) o número de elementos desse conjunto.
Exemplo
O conjunto A = {0, 2, 4} tem três elementos. Logo, n(A) = 3.
Conjunto unitário
c) C = {x | x é número impar compreendido entre 12 e 18}
d) D = {x | x e consoante da palavra conjunto}
P.4 Represente os seguintes conjuntos através de uma propriedade comum a seus elementos:
a) A = {1, 3, 5}
b) B = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
c) C = {cheia, nova, quarto minguante, quarto crescente}
d) D= {trapézio, retângulo, trapézio, isósceles, trapézio, escaleno}
1.4 CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO
Dado um conjunto A finito, indicamos por n(A) o número de elementos desse conjunto.
Exemplo
O conjunto A = {0, 2, 4} tem três elementos. Logo, n(A) = 3.
Conjunto unitário
É todo conjunto formado por um único elemento.
Exemplos
1. Se A = {é satélite natural da Terra}, então A= {Lua}.
Exemplos
1. Se A = {é satélite natural da Terra}, então A= {Lua}.
2. Se B = {x | x é número natural e x - 3 = 5}, então B = {8}.
Conjunto vazio
É o conjunto que não tem elementos. Indicamos por Ø ou por { }.
Ø é a letra grega maiúscula "fi".
Conjunto vazio
É o conjunto que não tem elementos. Indicamos por Ø ou por { }.
Ø é a letra grega maiúscula "fi".
Exemplos
1. Seja C = {x | x é número impar compreendido entre 3 e 5}. Então C = Ø.
1. Seja C = {x | x é número impar compreendido entre 3 e 5}. Então C = Ø.
2. Seja D = {x |x é o mês do ano cujo nome começa pela letra P}. Então D = Ø.
b) B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8}
c) C = {x | x é número natural primo e par}
d) D = (x | x é número natural e x*0 = 2}
e) E = {x | x é planeta do sistema solar cujo nome começa por vogal}
1.5 CONJUNTO UNIVERSO
Na resolução de questões que envolvem conjuntos, chamamos de conjunto universo, que indicamos por U, ao conjunto a que pertencem todos os elementos com os quais estaremos trabalhando.
Exemplos
1. Resolver a equação x + 2 = 0.
Resolução
EXERCÍCIO PROPOSTO
a) A = {x | x é número natural e x - 2 = 5}P.5 Verifique se cada um dos seguintes conjuntos é unitário ou vazio:
b) B = {x | x é número par compreendido entre 6 e 8}
c) C = {x | x é número natural primo e par}
d) D = (x | x é número natural e x*0 = 2}
e) E = {x | x é planeta do sistema solar cujo nome começa por vogal}
1.5 CONJUNTO UNIVERSO
Na resolução de questões que envolvem conjuntos, chamamos de conjunto universo, que indicamos por U, ao conjunto a que pertencem todos os elementos com os quais estaremos trabalhando.
Exemplos
1. Resolver a equação x + 2 = 0.
Resolução
Se considerarmos U = ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}, a solução da equação será:
S = {-2}
S = {-2}
Se considerarmos U = ℕ = {0, 1, 2, ...}, então a solução da equação será o conjunto vazio, ou seja:
S = Ø ou S = { }
S = Ø ou S = { }
ℕ é o conjunto dos números naturais.
ℤ é o conjunto dos números inteiros.
2. Determinar o conjunto formado pelos números menores que 10.
Resolução
Resolução
Seja S o conjunto que se quer determinar.
Se consideramos U = ℕ, vamos obter S = {0, 1, 2, ..., 9}.
Se U = ℤ, então S = {..., -2, -1,0, 1, 2, ..., 9}.
Se U = {x | x é número natural impar e x < 10}, então obtemos S = {1, 3, 5, 7, 9}.
Observe, por meio desses exemplos, como é importante definir o conjunto universo com o qual vamos trabalhar.
1.6 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B, e indicamos da seguinte forma:
A ⊂ B ⇔ (∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Se consideramos U = ℕ, vamos obter S = {0, 1, 2, ..., 9}.
Se U = ℤ, então S = {..., -2, -1,0, 1, 2, ..., 9}.
Se U = {x | x é número natural impar e x < 10}, então obtemos S = {1, 3, 5, 7, 9}.
Observe, por meio desses exemplos, como é importante definir o conjunto universo com o qual vamos trabalhar.
1.6 SUBCONJUNTO E RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B, e indicamos da seguinte forma:
A ⊂ B ⇔ (∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
O simbolo ∀ Lê-se "qualquer que seja" é o quantificador universal.
A ⊂ B Lê-se "A está contido em B".
Exemplo
Se A = {x | x e número natural impar menor do que 5}, então A = {1,3}.
Se B = {x | x é número natural impar menor do que 10}, então B = {1, 3, 5, 7,9}.
Observe que os elementos 1 e 3 de A pertencem também a B.
Exemplo
Se A = {x | x e número natural impar menor do que 5}, então A = {1,3}.
Se B = {x | x é número natural impar menor do que 10}, então B = {1, 3, 5, 7,9}.
Observe que os elementos 1 e 3 de A pertencem também a B.
Nesse caso, dizemos que o conjunto A está contido no conjunto B e indicamos isso por A ⊂ B.
Podemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A, ou seja, B ⊃ A.
Observações
1ª) O sinal ⊂ é denominado sinal de inclusão, e a relação de inclusão só se aplica entre conjuntos.
2ª) A ⊄ B significa que "A não está contido em B".
3ª) B ⊅ A significa que "B não contém A".
4ª) O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.
P.7 Considerando o diagrama, em que A, B e C são conjuntos não vazios, indique quais das afirmações são verdadeiras:
a) B ⊂ C
b) A ⊃ BPodemos dizer também que o conjunto B contém o conjunto A, ou seja, B ⊃ A.
Observações
1ª) O sinal ⊂ é denominado sinal de inclusão, e a relação de inclusão só se aplica entre conjuntos.
2ª) A ⊄ B significa que "A não está contido em B".
3ª) B ⊅ A significa que "B não contém A".
4ª) O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
a) A ⊃ C b) D ⊄ B c) C ⊃ B d) A ⊃ DP.6 Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {0, 4}, C = {4} e D = {0, 2}, assinale as sentenças verdadeiras.
P.7 Considerando o diagrama, em que A, B e C são conjuntos não vazios, indique quais das afirmações são verdadeiras:
c) C ⊂ A
d) B ⊃ C
P.8 Dados os conjuntos
A = {1, 3, 5, 7, 9},
B = {x | x é número natural e x - 5 = 2},
C = {x | x é número inteiro compreendido entre 5 e 8},
assinale as sentenças verdadeiras:
a) A ⊃ C b) B ⊂ A c) C ⊃ B
1.7 IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. Indicamos essa igualdade por:
A = B
Observe que, com a definição anterior, queremos dizer que dois conjuntos são iguais quando têm os mesmos elementos, ou seja:A = B ⇔ (∀ x, x ∈ A ⇔ x ∈ B)
Exemplos1. Se A = {3, 5, 7} e B = {5, 7, 3}, então A = B.
2. Se A = {0, 1, 2, 3, 4, ...} e B = {x l x é número natural}. então A = B.
3. Se A = {x | x é letra da palavra "arara"} e B = {x | x é letra da palavra "ar"}, então A = B.
Note que, nos três exemplos anteriores, todos os elementos do conjunto A são elementos de B e que todos os elementos de B são elementos de A. Isso garante a igualdade entre os conjuntos A e B.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
A = {x | x é número par compreendido entre 2 e 5},P.9 Dados os conjuntos
B = (x | x e número natural e x + 2 = 6},
C = {x | x é número natural e x =
},D= {4, 6},
E = {x | x é letra da palavra "arte"},
F = { x | x é letra da palavra "reta"},
indique quais das sentenças seguintes são verdadeiras:
a) C = D
b) A = B = C
c) A = D
d) E = F
P.10 Determine o valor de x para que as seguintes igualdades sejam verdadeiras:
a) {2, x + 1, 3} = {3, 10, 2}
b) {0, 3, 8, 4} = {0, 3, 2x, 4}
1.8 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
Seja o conjunto A = {3,5,7}, que tem os seguintes subconjuntos:
o conjunto vazio;
os conjuntos unitários {3}, {5} e {7};
os conjuntos com dois elementos {3, 5}; {3, 7} e {5, 7}:
o próprio conjunto A.
Denominamos conjunto das partes do conjunto A o conjunto P(A) formado por todos os subconjuntos do conjunto A:
P(A) = {Ø, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, A}
Note que o conjunto vazio, o conjunto A e os outros subconjuntos de A são elementos do conjunto P(A). É correto, por exemplo, dizer que {3} ∈ P(A), mas é errado afirmar que {3} ⊂ P(A).Número de elementos do conjunto das partes de um conjunto
Observe o seguinte quadro:
Conjunto A | Conjunto P(A) | Número de elemento P(A) | Potência de base 2 |
| Ø | {Ø} | 1 | 20 |
| {a1} | {Ø, {a1}} | 2 | 21 |
| {a1, a2} | {Ø, {a1}, {a2}, {a1, a2}} | 4 | 22 |
| ... | ... | ... | 23 |
| {a1, a2, ..., an}, com n elementos | {Ø, {a1}, {a2}, {a1, a2, ..., an}} | 2n | 2n |
Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
Exemplos
1. Determinar quantos elementos tem o conjunto das partes do conjunto A, sabendo que A tem 4 elementos.
Resolução
Se o conjunto A tem 4 elementos, isto é, n = 4, então P(A) tem 24 elementos, ou seja, P(A) tem 16 elementos
2. Dado A = Ø, determinar P(A).
Resolução
O conjunto P(A) é unitário, isto é, P(A) = {Ø}, pois o conjunto A possui um único subconjunto, o próprio Ø.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.11 Dados os conjuntos A = {p, p - 2} e B = {a, b}, obtenha os conjuntos P(A) e P(B).
P.12 Determine o número de elementos de P(A) nos seguintes casos:
a) A = {x | x é numero primo entre 4 e 8}
b) A = {x | x é número natural impar menor do que 8}
P.13 Sabendo que o conjunto das partes de um conjunto A tem 32 elementos, determine o número de elementos do conjunto A.
P.14 Dado A = {4, 6}, temos que P(A) = {Ø, {4}, {6}, A}. Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:
a) 4 ∈ A
b) 4 ∈ P(A)
c) Ø ∈ P(A)
d) Ø ⊂ A
e) A ⊂ P(A)
f) {{6}} ⊂ P(A)
TESTES
T.1 (UFCE) Se um conjunto A possui n elementos, então o conjunto P(A), das partes de A, possui 2n elementos. Qual e o número de elementos do conjunto das partes de P(A)?
a) 2n b) 4n c)
d) 8n e) 16n a) 4 b) 7 c) 8 d) 10 e) nda
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, denomina-se intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Indicamos essa operação por A ∩ B (lê-se "A inter B"). Utilizando símbolos, temos:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Casos particulares a considerar:Se B ⊂ A, então A ∩ B = B.
A ∩ Ø = Ø, ∀A
A ∩ B = B ∩ A, ∀A, ∀B
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C), ∀A, ∀B, ∀C
Exemplo
Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5}, B = {1, 2} e C = {5,6}, determinar:
a) A ∩ B b) A ∩ C c) B ∩ C d) A ∩ B ∩ C
Resolução
a) A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {1,2} ⇒ A ∩ B = {1,2}
b) A ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {5, 6} ⇒ A ∩ C = {5}
c) B ∩ C = {1, 2} ∩ {5,6} ⇒ B ∩ C = Ø
d) A ∩ B ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5} ∩ {1, 2} ∩ {5,6) ⇒ A ∩ B ∩ C = Ø
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.15 Dados os conjuntos A = {0, 2, 4, 6}, B = {2, 4, 8, 10}, C = {2, 4, 6} e D = {3, 5, 7}, determine:
a) A ∩ B b) A ∩ C c) C ∩ D
P.16 Sendo A = {x | x é natural ímpar menor do que 10} e B = {x | x é primo menor do que 8}, determine A ∩ B
P.17 Dados os conjuntos:
A = {x | x² + 2x - 15 = 0} e B = {1, 3, 5, 7}, determine A ∩ B.
P.18 Dados os conjuntos A, B e C, determine A ∩ B.
b) A ∩ C
c) B ∩ C
d) A ∩ B ∩ C
P.19 Hachure no diagrama a região que representa os seguintes conjuntos:
b) A ∩ B ∩ C
1.10 UNIÃO (OU REUNIÃO) DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, denomina-se união (ou reunião) de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
Indicamos essa operação por A U B (lê-se "A união B").
Utilizando símbolos, podemos escrever:
A U B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}
Casos particulares a considerar:
Se A ⊂ B, então A U B = B.
A U Ø = A, ∀A
A U A = A, ∀A
Ø U Ø = Ø
A U B = B U A A B
(A U B) U C = A U (B U C), ∀A, ∀B, ∀C
Exemplos
1. Se A = {0, 2, 4} e B = {0, 2, 6, 8}, então A U B = {0, 2, 4, 6, 8}.
2. Se A = {0,2} e B = {0, 2, 6,8}, então A U B= {0, 2, 6, 8}, isto é, A U B = B.
3. Se A = {1, 3, 5} e B = {2, 4, 6}, então A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
EXERCÍCIO PROPOSTO
P.20 Dados os conjuntos A = {a, e}, B = {b, c, d, f}, C = {a, c, e, g} e D = {b, d, f}, determine:
a) A U B
b) A U C
c) B U D
d) (A U B) U C
1.11 CONJUNTO DIFERENÇA
Dados dois conjuntos A e B, denomina-se conjunto diferença de A e B o conjunto forma do pelos elementos do conjunto A que não pertencem ao conjunto B.
Indicamos essa operação por A - B (lê-se "A menos B").
Utilizando símbolos, temos:
A - B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Casos particulares a considerar:B ⊂ A
Se A ∩ B = Ø, então A - B = A, ∀A, ∀B
Se B ⊂ A, então B - A = Ø, ∀A, ∀B
Se A ≠ B, então A - B ≠ B - A, ∀A, ∀B
Se A = B, então A - B = Ø e B - A = Ø, ∀A, ∀B
Exemplos
1. Se A = {3, 2, 1, 9} e B = {2, 1, 4, 5}, então A - B = {3, 9}.
2. Se A = {1, 2, 3, 9} e B = {1, 2, 9}, então A - B = {3}. Observe que B ⊂ A.
3. Se A = {2, 3} e B = {1,2}, então A - B = {3} e B - A = {1}. Observe que A - B ≠ B - A.
4. Se A = {1, 2, 3} e B = {4, 5, 6, 7}, então A - B = {1, 2, 3} = A.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.21 Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7}, B = {2, 4, 6, 8} e C = {3, 4, 5}, obtenha:
a) A - B
b) B - C
c) C - B
d) C - A
P.22 Indique se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada afirmação:
a) A - B = B - A
b) (A - B) ⊂ (A U B)
c) (A - B) ⊂ A
P.23 Hachure no diagrama ao lado a região que representa o conjunto (A U B) - A:
Complementar de um conjunto em relação a outro
Dados dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, denomina-se complementar de B em relação a A o conjunto A - B.
Indicamos essa operação por
(lê-se complementar de B em relação a A"). Então temo:
da seguinte forma:Exemplos
1. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9} e B = {5, 7}, determinar o conjunto
Resolução
= A - B ⇒ = {a, e, i, o, u}Complementar de um conjunto em relação ao conjunto universo
Se A é um subconjunto de um conjunto universo U, isto é, A ⊂ U, indicamos o complementar de A em relação a U por Ā, ou seja:
lê-se "A barra"
= Ā
Ā = = U - A
Exemplo = U - ADados os conjuntos A = {2, 4}, B = {8} e o conjunto universo U = {0, 2, 4, 6, 8} determinar:
a) Ā b)
c) 
Resolução
a)
 |
| Ā = U - A ={0, 6, 8} |
 |
| = U - B = {0, 2, 4, 6} |
= 
⇒ 
⇒ = {0, 2, 4, 6, 8} - {0, 2, 4, 6} ⇒ = {8}Portanto
= B. Note que o complementar do complementar de um conjunto em relação ao conjunto universo é o próprio conjunto. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.24 Dados A = {a, e, i, o}, B = {a, e, i} e C = {a, e, i, o, u} obtenha os seguintes conjuntos:
| a) |  |
| b) |  |
| c) |  |
P.25 Sendo U = {x | x é um número natural ímpar menor do que 10}, A = {3, 5, 7} e B = {9}, determine:
P.26 Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8} e B = {0, 2, 4}, determine:
| a) | |
| b) |  |
TESTES
T.3 Na figura, a região hachurada representa o conjunto:
| a) |  |
| b) |  |
| c) | |
| d) |  |
| e) | nda |
T.4 (U. F. Uberlândia-MG) Em relação aos conjuntos A = {x ∈ ℤ | -2 < x < 6} e B = {x | x é número real não-negativo x² - 6x + 8 = 0}, pode-se dizer que é:
a) {1, 3, 5, 6}
b) {2, 4}
c) {1, 3, 5}
d) {-2, -1, 1, 3, 5}
e) {-2, -1, 0, 1, 3, 5}
1.12 QUESTÕES QUE ENVOLVEM VÁRIOS TIPOS DE OPERAÇÃO ENTRE CONJUNTOS
Exemplos
1. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7, 9}, B = {7, 9} e C = {5, 7, 9}, determinar os seguintes conjuntos:
| a) | (A ∩ B) U C |
| b) | (B U C) ∩ A |
| c) |  ∩ A |
| d) |  |
Resolução
a) (A ∩ B) U C = {7, 9} U {5, 7, 9} = {5, 7, 9}, isto é, (A ∩ B) U C = C
b) (B U C) ∩ A= {5, 7, 9} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5, 7, 9}
c) ∩ A = {5} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5}
∩ A = {5} ∩ {3, 5, 7, 9} = {5}d) B ∩ C = {7, 9} ∩ {5, 7, 9} = {7, 9} B, isto é, = = {3, 5}
= = {3, 5}2. Hachurar, no diagrama abaixo, a região que representa o conjunto ( A - B) U (B - A):
Resolução
Temos:
A - B
B - A
( A - B) U (B - A)
a) 
b) Ā
c) 
d) 
e)
e)
f) 
Resolução
a) = B - A = {7}
b) Ā = U- A = {7,9)
c) = U - (A ∩ B) = {7,9)
d) = {7,9} ∩ {1, 3, 5, 7} = {7}
e) = U - ( A U B) = {9}
f) = {1, 3, 5} U {9} = {1, 3, 5, 9}
P.27 Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 5, 6}, B = {0, 2, 3, 4, 6}, C = {1, 2, 4, 5} e D = {1, 3, 5, 6}, determine:h) 
i)
P.31 Uma prova contendo dois problemas foi dada a 200 alunos.
T.8 (U. Uberaba-MG) Em uma pesquisa realizada em um colégio sobre o gosto musical dos alunos foram feitas duas perguntas: Você gosta de rock? Você gosta de música clássica? Após a tabulação, foram obtidos os seguintes resultados:
P.34 É dado o seguinte diagrama:
T.10 (FGV-SP) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos, A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
= Ā 
P.38 Dados os conjuntos A = {3, 5, 7}, B = {2, 5, 7} e U = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, determine:
.png)
a)
= B - A = {7}b) Ā = U- A = {7,9)
c)
= U - (A ∩ B) = {7,9)d)
= {7,9} ∩ {1, 3, 5, 7} = {7}e)
= U - ( A U B) = {9}f)
= {1, 3, 5} U {9} = {1, 3, 5, 9} EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.27 Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 5, 6}, B = {0, 2, 3, 4, 6}, C = {1, 2, 4, 5} e D = {1, 3, 5, 6}, determine:
a) (A - B)
b) (B - C)
c) (A - D) ∩ (B - C)
d) (A U C) ∩ (B U D)
P.28 Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2}, C = {2, 3} e o conjunto universo U = {0, 1, 2, 3}, determine:
a) (A U B) ∩ (B U C)
b) (A U B) ∩ (B U C)
c) (A ∩ B) ∩ (B U C)
d) (A ∩ B) ∩ (B ∩ C)
e) A U B U C
f) (A U B) ∩ C
g) A ∩ B ∩ C
i)
j) C ∩
P.29 Seja X um conjunto tal que X - {1, 2, 3, 7, 8} = {4} e X ∩ {1, 2, 3, 5, 6} = {1, 2, 3}. Determine o conjunto X.
P.30 Dados os conjuntos A = {4, 6, 8}, B = {1, 2, 4, 6} e C = {2, 4, 6}, verifique a validade das proposições:
a) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
b) A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C)
T.5 Dados os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5}, determine (U - A) ∩ (B U C).
TESTES
T.5 Dados os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5}, determine (U - A) ∩ (B U C).
a) {3}
b) Ø
c) {3, 4, 5}
d) {1, 2, 3, 4, 5}
e) {0, 6}
T.6 (UFRO) No diagrama ao lado, a parte em destaque representa:
a) (A ∩ B) U C
b) (A U B) - C
c) (B ∩ C) - A
d) A - (B ∩ C)
e) B - C
T.7 Assinale a alternativa verdadeira. Se A e B são dois conjuntos não vazios, então:
a) {x | x ∈ A e x ∈ B} = {A U B}
b) B ⊃ (A ∩ B)
c) A ∩ Ø = {Ø}
d) B - A = X ⇒ = X
= X1.13 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
Vamos estudar dois casos: quando a união envolve dois conjuntos e quando ela envolve três conjuntos.
Número de elementos da união de dois conjuntos
Dados dois conjuntos A e B e indicando por n(A) o número de elementos de A; n(B) o número de elementos de B; n(A U B) o número de elementos de AUB;
e n(A ∩ B) o número de elementos de A ∩ B, vale a seguinte relação:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Exemplos
1. Dados os conjuntos A e B abaixo, verificar a validade da relação anterior.
Resolução
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
7 = 5 + 4 - 2
2. Se um conjunto A tem 10 elementos, n(A ∩ B) = 3 e n(A U B) = 16, quantos elementos tem o conjunto B?
Resolução
Substituindo n(A) por 10, n(A ∩ B) por 3 e n(A U B) por 16 na expressão
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B), temos:
16 = 10 + n(B) – 3 ⇒ n(B) = 9 elementos
3. Em uma cidade existem dois clubes que têm, juntos, 1.400 sócios. O clube A tem 600 sócios e 400 sócios pertencem aos dois clubes. Pergunta-se:
a) Quantos sócios pertencem exclusivamente ao clube A?
b) Quantos sócios pertencem ao clube B?
c) Quantos sócios pertencem exclusivamente ao clube B?
Resolução
Pelo enunciado, temos que n(A U B) = 1.400, n(A) = 600 e n(A ∩ B) = 400.
Utilizando diagramas, temos:
a) Sócios exclusivos do clube A
Chamando de x o número de sócios exclusivos do clube A, temos:
n(A) = x + 400 ⇒
⇒ x = n(A) – 400 ⇒
⇒ x = 600 – 400 ⇒ x = 200
Portanto 200 sócios são exclusivos do clube A.
b) Sócios do clube B
Temos a relação:
n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B), em que
n(A U B) = 1.400, n(A) = 600 e n(A ∩ B) = 400
Daí, temos: 1.400 = 600 + n(B) – 400 ou
1.400 = n(B) + 200, em que n(B) = 1.200
Portanto o clube B tem 1.200 sócios.
c) Sócios exclusivos do clube B
Chamando de y o número de sócios exclusivos do clube B, temos:
y = n(A U B) – n(A) ⇒
⇒ y = 1.400 – 600 ⇒ y = 800
Também poderíamos ter feito assim:
y = n(B) – n(A ∩ B) ⇒
⇒ y = 1.200 – 400 = y = 800
Portanto 800 sócios são exclusivos do clube B.
4. Em um exame vestibular caíram apenas duas questões e sabe-se que:
100 alunos acertaram as duas questões;
170 alunos acertaram a primeira questão;
100 alunos acertaram apenas uma das questões;
95 alunos erraram as duas questões.
Qual o número de alunos que prestaram o exame?
Resolução
Chamando de A o conjunto dos alunos que acertaram a primeira questão e de B o conjunto dos alunos que acertaram a segunda questão, temos:
1°) Seja n(A ∩ B) o número de alunos que acertaram as duas questões. Então temos n(A ∩ B) 100.
2°) Como o conjunto A tem 170 elementos e n(A ∩ B) = 100, então faltam 70 elementos para completar o conjunto A.
3°) Como 70 alunos acertaram apenas a primeira questão e 100 alunos acertaram
uma das questões, então 30 alunos acertaram apenas a segunda questão.
4°) Há também 95 alunos que erraram as duas questões, ou seja, o conjunto 
deve ter 95 elementos.
deve ter 95 elementos.
Sendo n(U) o número de alunos que prestaram o exame, temos:
n(U) = 70 + 100 + 30 + 95 ⇒ n(U) = 295
Portanto 295 alunos prestaram o exame.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.31 Uma prova contendo dois problemas foi dada a 200 alunos.
Sabe-se que:
50 alunos acertaram os dois problemas;
100 alunos acertaram o primeiro problema;
99 alunos acertaram o segundo problema.
Quantos alunos erraram os dois problemas?
P.32 (Mackenzie-SP) Em uma escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. Calcule o valor de n.
P.33 (F. C. Chagas-BA) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais distintos de A e B.
Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao B?
TESTES
T.8 (U. Uberaba-MG) Em uma pesquisa realizada em um colégio sobre o gosto musical dos alunos foram feitas duas perguntas: Você gosta de rock? Você gosta de música clássica? Após a tabulação, foram obtidos os seguintes resultados:
Com base nesses dados, determine o número de alunos consultados.
a) 540
b) 544
c) 444
d) 412
T.9 (Unifor-CE) Dois clubes X e Y possuem um total de 3.000 sócios. Sabe-se que 1.850 são sócios de X e 2.500 são sócios de Y. O número de sócios de X que não são sócios de Y é:
a) 350
b) 500
c) 1.150
d) 1.350
e) 1.500
Número de elementos da união de três conjuntos
Dados três conjuntos A, B e C, o número de elementos da união desses conjuntos é obtido pela relação:
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
Exemplos
1. Dados os conjuntos A, B e C abaixo, verificar a validade da relação anterior.
Resolução
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A∩B) – n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
16 = 9 + 8 + 9 - 5 - 3 - 4 + 2
2. Considere o diagrama.
Determinar:
a) O número de elementos que pertencem exclusivamente a cada conjunto.
b) O número de elementos que pertencem a cada conjunto.
c) O número de elementos que pertencem aos conjuntos A e B, B e C e A e C.
d) O número de elementos que pertencem aos três conjuntos.
e) O número de elementos que pertencem ao conjunto A U B U C.
f) O número de elementos do conjunto universo.
g) O número de elementos que não pertencem a nenhum dos três conjuntos.
Resolução
a) Número de elementos que pertencem exclusivamente a cada conjunto
• Exclusivos de A: 120 elementos
• Exclusivos de B: 75 elementos
• Exclusivos de C: 140 elementos
b) Número de elementos que pertencem a cada conjunto
n(A) = 120 + 10 + 20 + 60
n(A) = 210
n(B) = 75 + 5 + 20 + 10
n(B) = 110
n(C) = 140 + 60 + 20 +5
n(C) = 225
c) O número de elementos que pertencem aos conjuntos A e B, B e C e A e C
n(A ∩ B) = 10+ 20
n(A ∩ B) = 30
n(B ∩ C) = 20 + 5
n(B ∩ C) = 25
n(A ∩ C) = 60 + 20
n(A ∩ C) = 80
d) Número de elementos que pertencem aos três conjuntos
n(A ∩ B ∩ C) = 20
e) Número de elementos que pertencem ao conjunto A U B U C
n(A U B U C) = 120 + 75 + 140 + 60 + 20 + 10 + 5
n(A U B U C) = 430
f) Número de elementos do conjunto universo
n(U) = 120 + 75 + 140 + 60 + 20 + 10 + 5 + 15
n(U) = 445
g) Número de elementos que não pertencem a nenhum dos três conjuntos
n(U) - n(A U B U C) = 445 - 430 = 15
3. Uma pesquisa em que 500 pessoas foram entrevistadas revelou que:
235 compram o jornal X;
245 compram o jornal Y;
250 compram o jornal Z;
130 compram os jornais X e Y;
60 compram jornais X e Z;
120 compram os jornais Y e Z;
30 não compram nenhum desses jornais.
Pergunta-se:
a) Quantas pessoas compram os três jornais ?
b) Quantas compram somente um dos jornais?
Resolução.
a) Número de pessoas que compram os três jornais
1) Queremos determinar o número de elementos do conjunto X ∩ Y ∩ Z, o qual chamaremos de x.
2) O conjunto X ∩ Y tem 130 elementos. Como já existem x elementos, então faltam (130 - x) elementos para completá-lo.
3) Faltam (60 - x) elementos para completar X ∩ Z.
4) Faltam (120 - x) completar Z ∩ Y.
5) Como 235 pessoas compram o jornal X, então temos que
235 - (130 - x) - x - (60 - x)
compram exclusivamente o jornal X, ou seja:
235 - 130 + x -x - 60 + x = 45 + x
6) Como 245 pessoas compram o jornal Y, então temos que
245 - x - (130 - x) - (120 - x)
compram exclusivamente o jornal Y. ou seja:
245 - x - 130 + x - 120 + x = x - 5
7) Para o jornal Z há exclusivamente
[250 - (60 - x) _ (120 - x) pessoas, ou seja:
250 - 60 + x - x - 120 + x = 70 + x
8) Há 30 pessoas que não compram nenhum dos três jornais. Elas formam o conjunto
.
.
Como n(U) = 500, temos:
(45 + x) + (60 - x) + (70 + x) + (130 - x) + (120 - x) + (x - 5) + x + 30 = 500 ⇒
⇒ 45 + x + 60 - x + 70 + x + 130 - x + 120 - x + x - 5 + x + 30 = 500 ⇒
⇒ x + 450 = 500 ⇒ x = 50
Portanto 50 pessoas compram os três jornais.
b) Pessoas que compram exclusivamente um dos jornais.
Exclusivamente o jornal X:
45 + x = 45 + 50 = 95
Exclusivamente o jornal Y:
X - 5 = 50 - 5 = 45
Exclusivamente o jornal Z:
70 + x = 70 + 50 = 120
Portanto 95 pessoas compram somente o jornal X, 45 pessoas compram somente o jornal Y e 120 pessoas compram somente o jornal Z.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.34 É dado o seguinte diagrama:
Então determine.
a) o número de elementos de cada conjunto.
b) o número de elementos que pertencem aos conjuntos A e B, A e C e B e C.
c) o número de elementos que pertencem aos três conjuntos.
d) o número de elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.
e) o número de elementos que não pertencem a nenhum dos três conjuntos
f) o número de elementos do conjunto universo.
P.35 Em um supermercado foi feita uma pesquisa sobre a preferência de três produtos A B e C. A tabela mostra o resultado:
| Produto | A | B | C | A e B | A e C | B e C | A, B e C | Nenhum |
| Preferência | 100 | 95 | 125 | 40 | 30 | 15 | 10 | 40 |
a) Quantas pessoas foram consultadas?
b) Quantas pessoas consomem exclusivamente um produto?
c) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B?
P.36 Em um shopping foi feita uma pesquisa sobre a preferência por três filmes, A, B e C. Foram entrevistadas 195 pessoas e o resultado encontra-se na seguinte tabela:
| Filme | A | B | C | A e B | A e C | B e C | Nenhum |
| Preferência | 85 | 75 | 120 | 35 | 25 | 50 | 10 |
a) Quantas pessoas preferem os três filmes?
b) Quantas pessoas preferem exclusivamente um dos filmes?
TESTES
T.10 (FGV-SP) Em uma pesquisa de mercado foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a três produtos, A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que:
210 pessoas compram o produto A;
210 pessoas compram o produto B;
250 pessoas compram o produto C;
20 pessoas compram os três produtos;
100 pessoas não compram nenhum dos três produtos;
60 pessoas compram os produtos A e B;
70 pessoas compram os produtos A e C;
50 pessoas compram os produtos Be C.
Quantas pessoas foram entrevistadas?
a) 670
b) 970
c) 870
d) 610
e) 510
T.11 (FGV-SP) No problema anterior, calcule quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto C.
a) 210, 210, 250
b) 150, 150, 180
c) 100, 120, 150
d) 120, 140, 170
e) nda
T.12 (PUC/Campinas-SP) Numa comunidade constituída de 1.800 pessoas, há três programas de tevê favoritos: esporte (E), novela (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:
| Programas | E | N | H | E e N | N e H | E e H | E, N e H |
| Nº de Telespectadores | 400 | 1.220 | 1.080 | 220 | 800 | 180 | 100 |
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem qualquer dos três programas é:
a) 100
b) 200
c) 900
d) Os dados do problema estão incorretos.
e) nda
RESUMO
Conjunto unitário é aquele que tem um único elemento.
Conjunto vazio é que não tem elementos. Indica-se por Ø ou { }.
Conjunto universo é o conjunto ao qual pertencem todos os elementos com os quais estaremos trabalhando. Indica-se por U.
Subconjunto:
A ⊂ B ⇔ (∀ x, x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Conjuntos iguais: A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A
Conjunto das partes: Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A, é o conjunto P(A), formado por todos os subconjuntos de A.
Número de elementos do conjunto P(A): Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n elementos.
Intersecção de conjuntos:
A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
União (ou reunião) de conjuntos:
A U B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Conjunto diferença:
A - B = {x | x ∈ A ou x ∉ B}
Complementar de um conjunto em relação a outro:
Complementar de um conjunto em relação ao conjunto universo é o conjunto
= Ā 
Número de elementos da união de conjuntos:
Quando as operações envolvem dois conjuntos
n(A U B)= n(A) + n(B) - n(A ∩ B )
Quando as operações envolvem três conjuntos
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) - n(B∩C) + n(A∩B∩C)
1.15 QUESTÕES DE REVISÃO E APROFUNDAMENTO
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
P.37 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 6}, C = {3, 4} e o conjunto universo U = {1, 2, 3, ..., 8}, determine:
a) Ā
b)
c) 
d) .png)
.png)
e) .png)
.png)
f) .png)
.png)
| g) |  |
P.38 Dados os conjuntos A = {3, 5, 7}, B = {2, 5, 7} e U = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, determine:
P.39 Hachure no diagrama a região que representa o conjunto (A U B U C) - (A ∩ B ∩ C).
TESTES
T.13 (F. Santo André-SP) Seja A um conjunto com 7 elementos. O número total de subconjuntos de A é:
a) 16
b) 128
c) 56
d) 100
e) 256
T.14 (UFRS) Sendo A = {0, 1} e B = {2, 3}, o número de elementos do conjunto P(A) ∩ P(B) é:
a) 0
b) 1
c) 2
c) 4
e) 8
T.15 Dois conjuntos A e B possuem, respectivamente, 10 e 5 elementos. Sabendo-se que 3 elementos pertencem a A e B, quantos pertencem a A ou B?
a) 7
b) 2
c)3
d)12
e)15
T.16 (Cesgranrio) Sejam os conjuntos U - {1, 2, 3, 4} e A - {1, 2}. O conjunto B tal que e B U A = U é:
a) Ø
b) {1}
c) {1, 2}
d) {1, 3, 4}
e) U
T.17 (U Passo Fundo - RS) Se M = {1, 2, 3, 4, 5} e N são conjuntos tais que M U N {1, 2, 3,4,5} e M U N então o conjunto N é:
a) {1, 2, 3}
b){4, 5}
c){1, 2, 3, 4, 5}
d)vazio
e) impossível determinar
T.18 (U. F. Uberlândia-MG) Assinale a alternativa falsa:
a) x ∈ A - B ⇒ x ∈ A e x ∉ B
b) x ∈ ⇒ x ∈ B e x ∉ A, em que A ⊂ B
⇒ x ∈ B e x ∉ A, em que A ⊂ Bc) x ∈ A U B ⇒ x ∈ A ou x ∈ B
d) x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ (A - B) e x ∈ (B - A)
e) x ∈ B x ∈ (A ∩ B) ∩ (B - A)
T.19 (FGV-SP) Considere as afirmações a respeito da parte em destaque do diagrama seguinte:
I) A ∩ ( U )
U )II) A ∩ ( ∩ )
∩ ).png)
A(s) afirmação(ões) correta(s) é(são):
a) I
b) III
c) I e IV
d) II e III
e) II e IV
T.20 (UFMG) Um colégio ofereceu cursos de inglês e francês, devendo os alunos se matricularem em pelo menos um deles. Dos 45 alunos de uma classe, 13 resolveram estudar tanto inglês quanto francês; em francês matricularam-se 22 alunos; e em inglês:
a) 9 alunos
b) 23 alunos
c) 32 alunos
d) 35 alunos
e) 36 alunos
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